Question

求過兩點A(1，4)、B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標準方程，并判斷點P(2，4)與圓的關系．

Answer 1

圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.點P在圓外

(解法1)(待定系數法)設圓的標準方程為(x－a)²＋(y－b)²＝r².
∵圓心在y＝0上，故b＝0.∴圓的方程為(x－a)²＋y²＝r².
∵該圓過A(1，4)、B(3，2)兩點，∴解之得a＝－1，r²＝20.
∴所求圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.
(解法2)(直接求出圓心坐標和半徑)∵圓過A(1，4)、B(3，2)兩點，∴圓心C必在線段AB的垂直平分線l上．∵k_AB＝＝－1，故l的斜率為1，又AB的中點為(2，3)，故AB的垂直平分線l的方程為y－3＝x－2即x－y＋1＝0.又知圓心在直線y＝0上，故圓心坐標為C(－1，0)．∴半徑r＝|AC|＝.故所求圓的方程為(x＋1)²＋y²＝20.又點P(2，4)到圓心C(－1，0)的距離為d＝|PC|＝>r.
∴點P在圓外．