Question

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?STRONG>R，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n,均有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,且f(-)=0,當(dāng)x＞-時(shí)，有

f(x)＞0.

(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)；

(2)解不等式1+f()≤f(1)+f(ax),其中a為正常數(shù).

Answer 1

(1)證明：設(shè)x₁＜x₂,則x₂-x₁-＞-.

依題意，有f(x₂-x₁-)＞0.

∵f(x₂)-f(x₁)=f［(x₂-x₁)+x₁］-f(x₁)

=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)

=f(x₂-x₁)-1

=f(x₂-x₁)+f(-)-1

=f［(x₂-x₁)-］＞0,

即f(x₁)＜f(x₂).∴f(x)是R上的增函數(shù).

(2)解：1+f()≤f(1)+f(ax) f(1)+f(ax)-1≥f()f(ax+1)≥f()≤ax+1.

由此得1≤1+ax,即ax≥0.

又a＞0,知原不等式又等價(jià)于也就是

故當(dāng)a≥1時(shí)，解集為{x|x≥0};

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解集為{x|0≤x≤}.