Question

【題目】已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓的左、右焦點分別作傾斜角為的直線，分別交橢圓于A，B和C，D兩點，當時，直線AB與CD之間的距離為.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若AB不與x軸重合，點P在橢圓上，且滿足（t＞0）.若，求直線AB的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）當時，直線AB與CD之間的距離為，得，所以，由橢圓C的離心率為，，可求橢圓方程.（2）先驗證直線的斜率不存在時，不滿足題意，當直線的斜率存在時，設方程為，聯立直線和橢圓方程，設，由，把代入橢圓方程得，即可求AB方程.

解：（1）設，由之間的距離為，得，所以，

由橢圓C的離心率為，得，所以，，

所以橢圓C的標準方程為.

（2）若直線的斜率不存在，則易得，，得，顯然點不在橢圓上，舍去

因此設直線的方程為，設，

將直線的方程與橢圓的方程聯立，整理得，

因為，所以，

則由，

得

將P點坐標代入橢圓C的方程，得;

將帶入等式得，

因此所求直線AB的方程為