Question

（2011•揭陽一模）如圖①邊長為1的正方形ABCD中，點E、F分別為AB、BC的中點，將△BEF剪去，將△AED、△DCF分別沿DE、DF折起，使A、C兩點重合于點P得一三棱錐如圖②示．
（1）求證：PD⊥EF；
（2）求三棱錐P-DEF的體積；
（3）求點E到平面PDF的距離．

Answer 1

分析：（1）證明PD⊥EF，只需證明PD⊥平面PEF即可；
（2）解法1：依題意知圖1中AE=CF=

1

2

，從而PE=PF=

1

2

，證明PE⊥PF，利用VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD可求；
解法2：依題意知圖2中AE=CF=

1

2

，從而PE=PF=

1

2

，取EF的中點M，連接PM，則PM⊥EF，利用VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD可求；
（3）由（2）知PE⊥平面PDF，從而線段PE的長就是點E到平面PDF的距離．

解答：（1）證明：依題意知圖1折前AD⊥AE，CD⊥CF，-------------------------------（1分）
∴PD⊥PE，PF⊥PD，-------------------------------------------------------（2分）
∵PE∩PF=P，∴PD⊥平面PEF-----------------------------------（4分）
又∵EF?平面PEF，∴PD⊥EF----------------------------------------（5分）
（2）解法1：依題意知圖1中AE=CF=

1

2

，∴PE=PF=

1

2

，
在△BEF中，EF=

2

BE=

2

2

，-----（6分）
在△PEF中，PE²+PF²=EF²，
∴S△PEF=

1

2

•PE•PF=

1

2

•

1

2

•

1

2

=

1

8

------（8分）
∴VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD=

1

3

×

1

8

×1=

1

24

．-----（10分）
解法2：依題意知圖2中AE=CF=

1

2

，∴PE=PF=

1

2

，
在△BEF中EF=

2

BE=

2

2

，------------------（6分）
取EF的中點M，連接PM
則PM⊥EF，∴PM=

PE2-EM2

=

2

4

---------（7分）
∴S△PEF=

1

2

EF•PM=

1

2

×

2

2

×

2

4

=

1

8

---------------（8分）
∴VP-DEF=VD-PEF=

1

3

S△PEF•PD=

1

3

×

1

8

×1=

1

24

．------------------------------（10分）
（3）由（2）知PE⊥PF，又PE⊥PD，∴PE⊥平面PDF---------------------（12分）
∴線段PE的長就是點E到平面PDF的距離--------------------------------------（13分）
∵PE=

1

2

，∴點E到平面PDF的距離為

1

2

．-------------------------------------（14分）

點評：本題考查線線垂直，考查三棱錐的體積，考查點面距離的計算，解題的關鍵是利用線面垂直證明線線垂直，掌握轉換底面求體積．