Question

【題目】已知圓O的方程為x2+y2=5．
（1）P是直線y= x﹣5上的動點，過P作圓O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，求證：直線CD過定點；
（2）若EF、GH為圓O的兩條互相垂直的弦，垂足為M（1，1），求四邊形EGFH面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：設P（x0，y0），則 ，

由題意，OCPD四點共圓，且直徑是OP，

其方程為 ，即x2+y2﹣x0x﹣y0y=0，

由 ，得：x0x+y0y=5．

∴直線CD的方程為：x0x+y0y=5．

又 ，∴ ，即（2x+y）x0﹣10（y+1）=0．

由 ，得： ．

∴直線CD過定點

（2）解：設圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1、d2，則 ．

∴ ，

故 ．

當且僅當 ，即d1=d2=1時等號成立．

∴四邊形EGFH面積的最大值為8

【解析】（1）設P的坐標，寫出以OP為直徑的圓的方程，與圓方程聯立即可求得直線CD的方程，結合P在直線y= x﹣5，利用線系方程證明直線CD過定點；（2）設圓心O到直線EF、GH的距離分別為d1、d2 ， 則 且 ，代入四邊形面積公式，利用基本不等式求得四邊形EGFH面積的最大值．