Question

已知函數f(x)＝lnx－ax(a∈R)．

(1)求函數f(x)的單調區間；

(2)當a>0時，求函數f(x)在[1，2]上的最小值．

 

Answer 1

（1）單調增區間是，單調減區間是（2）當0<a<ln2時，最小值是－a；當a≥ln2時，最小值是ln2－2a.

【解析】①知函數解析式求單調區間，實質是求f′(x)>0，f′(x)<0的解區間，并注意定義域；

②先研究f(x)在[1，2]上的單調性，再確定最值是端點值還是極值；

③由于解析式中含有參數a，要對參數a進行分類討論．

規范解答：【解析】
(1)f′(x)＝－a(x>0)．(1分)

①當a≤0時，f′(x)＝－a≥0，即函數f(x)的單調增區間是(0，＋∞)．(3分)

②當a>0時，令f′(x)＝－a＝0，得x＝，當0<x< 時，f′(x)＝>0，當x> 時，f′(x)＝<0，所以函數f(x)的單調增區間是，單調減區間是.(6分)

(2)①當≤1，即a≥1時，函數f(x)在區間[1，2]上是減函數，

所以f(x)的最小值是f(2)＝ln2－2a.(8分)

②當≥2，即0<a≤時，函數f(x)在區間[1，2]上是增函數，

所以f(x)的最小值是f(1)＝－a.(10分)

③當1< <2，即<a<1時，函數f(x)在區間上是增函數，在區間上是減函數，

又f(2)－f(1)＝ln2－a，

所以當<a<ln2時，最小值是f(1)＝－a；

當ln2≤a<1時，最小值是f(2)＝ln2－2a.(12分)

綜上可知，當0<a<ln2時，最小值是－a；

當a≥ln2時，最小值是ln2－2a.(14分)