Question

已知定義在R上的函數F（x）滿足F（x+y）=F（x）+F（y），當x＞0時，F（x）＜0，且對任意的x∈[0，1]，不等式組

F(2kx-x2)＜F(k-4) F(x2-kx)＜F(k-3)

均成立，
（1）求證：函數F（x）在R上為減函數
（2）求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數單調性的定義證明，設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0然后判定F（x₂）與F（x₁）的大小即可得到結論；
（2）根據函數的單調性可得

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

對x∈[0，1]成立，然后轉化成

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

對x∈[0，1]成立，最后求出f（x）＜0對x∈[0，1]成立時k的范圍，以及g（x）＞0對x∈[0，1]成立時k的范圍，再求交集即可．

解答：解：（1）設x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0∴F（x₂-x₁）＜0                                      …（1分）
∴F（x₂）=F（x₂-x₁）+F（x₁）＜F（x₁）∴函數F（x）在R上為減函數                            …（4分）
（2）∵函數F（x）在R上為減函數∴

2kx-x2＞k-4 x2-kx＞k-3

對x∈[0，1]成立，…（6分）
依題有

f(x)=x2-2kx+k-4＜0 g(x)=x2-kx-k+3＞0

對x∈[0，1]成立
由于f（x）＜0對x∈[0，1]成立∴

f(0)＜0 f(1)＜0

∴-3＜k＜4①…（10分）
由于g（x）＞0對x∈[0，1]成立∴k＜

x2+3

x+1

=

(x+1)2-2(x+1)+4

x+1

∴k＜(x+1)+

4

x+1

-2恒成立∴k＜2②…（14分）
綜上由①、②得-3＜k＜2…（16分）

點評：本題主要考查了函數單調性的判定和不等式恒成立問題，是一道綜合題，有一定的難度，屬于難題．