Question

（理科）設點A（1，2），B（2，1）如果直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，那么a²+b²（　　）

• A．最大值為

  1

  5

• B．最大值為

  2

  9

• C．最小值為

  1

  5

• D．最小值為

  2

  9

Answer 1

分析：由題意得：點A（1，2），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側（或過A，或過B），那么把這兩個點代入ax+by=1，它們的符號相反，乘積小于等于0，即可得出關于a，b的不等關系，畫出此不等關系表示的平面區域，結合線性規劃思想求出a²+b²的最小值．

解答：解：∵直線ax+by=1與線段AB有一個公共點，
∴點A（1，2），B（2，1）在直線ax+by=1的兩側（或過A，或過B），
∴（a+2b-1）（2a+b-1）≤0，
畫出它們表示的平面區域，如圖所示．
a²+b²表示原點到區域內的點的距離的平方，
由圖可知，當原點O到直線2a+b-1=0的距離為原點到區域內的點的距離的最小值，即

1

5

∴a²+b²的最小值為

1

5

故選C．

點評：本題考查線性規劃的應用，本題解題的關鍵是寫出約束條件，畫出可行域，屬于中檔題．