Question

已知函數f（x）=x³+bx²+cx在x=α與x=β處有兩個不同的極值點，設x在點（-1，f（-1））處的切線為l₁，其斜率為k₁；在點（1，f（1））處的切線為l₂，其斜率為k₂．
（1）若l₁⊥l₂，|α-β|=

10

3

，求b，c的值；
（2）若α，β∈（-1，1），求k₁k₂可能取到的最大整數值．

Answer 1

分析：（1）求出函數的導函數，因為兩直線垂直得到斜率乘積為-1，即f′（-1）•f′（1）=-1得到一個式子①，因為α和β為方程的兩個根，利用根與系數的關系表示出|α-β|，代入條件，可得②，①②聯立，即可得到結論；
（2）設f′（x）=3（x-α）（x-β），則k₁k₂=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β），利用基本不等式，即可得到結論．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，又∵l₁⊥l₂，
∴f′（-1）•f′（1）=-1
即（3+2b+c）（3-2b+c）=-1①
∵α，β是3x²+2bx+c=0的兩根，∴α+β=-

2b

3

，αβ=

c

3

又∵|α-β|=

10

3

，∴|α-β|2=（α+β）2-4αβ=

4b2

9

-

4c

3

=

10

9

②
由①②得

c=0 b=± 10 2

或

c=6 b=± 82 2

；
（2）設f′（x）=3（x-α）（x-β），則k₁k₂=f′（-1）f′（1）=9（1+α）（1-α）（1+β）（1-β）≤9(

1+α+1-α

2

)2×(

1+β+1-β

2

)2=9
當且僅當α=β=0時，等號成立
∵α≠β，∴k₁k₂≤8
取α=0，β=

1

3

時，k1k2=9×

4

3

×

2

3

=8
即f（x）=x3-

1

2

x2時，k₁k₂=8
∴k₁k₂可能取到的最大整數值為8．

點評：本題考查學生利用導數研究函數極值的能力，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．