Question

已知集合A={a₁，a₂，a₃，…a_n}，記和a_i+a_j（1≤i＜j≤n）中所有不同值的個數為M（A）．如當A={1，2，3，4}時，由1+2=3，1+3=4，1+4=2+3=5，2+4=6，3+4=7，得M（A）=5．對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數列，則M（B）=

2n-3

．

Answer 1

分析：把 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成圖表，嚴格利用題目給出的新定義，采用列舉法來進行求解即可．

解答：解：對于集合B={b₁，b₂，b₃，…，b_n}，若實數b₁，b₂，b₃，…，b_n成等差數列，
則 b_i+b_j （1≤i＜j≤m，i，j∈N）的值列成如下各列所示圖表：
b₁+b₂，b₂+b₃，b₃+b₄，…，b_n-1+b_n，
b₁+b₂，b₂+b₄，b₃+b₅，…，b_n-2+b_n，
   …，…，…，
b₁+b_n-2，b₂+b_n-1，b₃+b_n，
b₁+b_n-1，b₂+b_n，
b₁+b_n，
∵數列{b_n}是等差數列，
∴b₁+b₄=b₂+b₃，b1+b5=b₂+b₄，…，b₁+b_n=b₂+b_n-1．
∴第二列中只有 b₂+b_n 的值和第一列不重復，即第二列剩余一個不重復的值，
同理，以后每列剩余一個與前面不重復的值，
∵第一列共有n-1個不同的值，后面共有n-1列，
∴所有不同的值有：n-1+n-2=2n-3，故M（B）=2n-3，
故答案為 2n-3．

點評：本題的屬于新定義的創新題，主要考查等差數列的定義和性質，題目篇幅長，難于理解是解決這一問題的障礙，屬于中檔題．