Question

【題目】已知圓 的圓心在直線 上，且圓 經過點 .
（1）求圓的標準方程；
（2）直線 過點 且與圓 相交，所得弦長為4，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心為 ，則 應在 的中垂線上，其方程為 ，
由 ，即圓心 坐標為
又半徑 ，故圓的方程為
（2）解：點 在圓內，且弦長為 ，故應有兩條直線.
圓心到直線距離 .
①當直線的斜率不存在時，直線的方程為 ，
此時圓心到直線距離為1，符合題意.
②當直線的斜率存在時，設為 ，直線方程為
整理為 ，則圓心到直線距離為
解得 ，直線方程為
綜上①②，所求直線方程為 或
【解析】（1）圓心為 兩條弦所在直線相交點，利用方程組求出圓心，兩點距離求出半徑，得到圓的標準方程 。
（2）討論斜率存在與否 ，設出直線方程， 利用垂徑定理求出圓心到直線的距離，由點到直線距離公式求出斜率K，得到直線方程。