【題目】定義在R上的函數
滿足
，且當
時，
，對任意
R，均有
．
（1）求證：
；
（2）求證：對任意
R，恒有
；
（3）求證：是R上的增函數；
（4）若
，求
的取值范圍．
【答案】（1）見解析； （2）見解析； （3）見解析； （4）
.
【解析】
（1）利用賦值法，令a＝b＝0，求解f (0)的值即可；
（2）分類討論x < 0和
兩種情況證明題中的不等式即可；
（3）由函數的性質可證得當
時，f (x2) > f (x1)，則f(x)是R上的增函數．
（4）由題意結合函數的單調性和函數在特殊點的函數值可得x的取值范圍是(0，3)．
（1）證明：令a＝b＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因為f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1.
（2）當x < 0時，－x >0，
所以f (0) ＝f (x) f (－x) ＝1，即
，
又因為時，
，所以對任意x∈R，恒有f (x) >0.
（3）證明：設，則
，所以f (x2)＝f [(x2－x1)＋x1]＝f (x2－x1) f (x1)．
因為x2－x1>0，所以f (x2－x1)>1，又f (x1) > 0，
則f (x2－x1) f (x1) > f (x1)，即f (x2) > f (x1)，所以f(x)是R上的增函數．
（4）由f (x)·f (2x－x2) >1， f (0)＝1得f (3x－x2) > f (0)，
又由f (x) 為增函數，所以3x－x2 > 0 0 < x < 3.故x的取值范圍是(0，3)．
活力試卷系列答案
課課優能力培優100分系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知AB是⊙O的直徑，直線AF交⊙O于F（不與B重合），直線EC與⊙O相切于C，交AB于E，連接AC，且∠OAC=∠CAF，求證： 
（1）AF⊥EC；
（2）若AE=5，AF=2，求AC．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切. 
、
是橢圓
的右頂點與上頂點，直線
與橢圓相交于
、
兩點.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）當四邊形
面積取最大值時，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設函數f（x）=ex（ax2﹣x﹣1）（a∈R）．
（1）若函數f（x）在R上單調遞減，求a的取值范圍
（2）當a＞0時，求f（|sinx|）的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點A(0，－2)，橢圓E： 
(a>b>0)的離心率為
，F是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為
，O為坐標原點.
(1)求E的方程；
(2)設過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點.當△OPQ的面積最大時，求l的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，R表示的外接圓半徑.
（Ⅰ）如圖，在以O圓心、半徑為2的
O中，BC和BA是O的弦，其中
，求弦AB的長;
(Ⅱ)在中，若
是鈍角，求證：
;
(Ⅲ)給定三個正實數a、b、R，其中
，問：a、b、R滿足怎樣的關系時，以a、b為邊長，R為外接圓半徑的不存在、存在一個或存在兩個（全等的三角形算作同一個）？在存在的情況下，用a、b、R表示c.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設等差數列{an}的前n項的和為Sn ， 已知a1=1， 
=12．
（1）求{an}的通項公式an；
（2）bn= 
，bn的前n項和Tn ， 求證；Tn＜ 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)的圖像可以由y=cos2x的圖像先縱坐標不變橫坐標伸長到原來的2倍，再橫坐標不變縱坐標伸長到原來的2倍，最后向右平移
個單位而得到.
⑴求f(x)的解析式與最小正周期；
⑵求f(x)在x∈(0，π)上的值域與單調性.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f(x)＝loga
(其中a>0，且a≠1)．
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)判斷函數f(x)的奇偶性并給出證明；
(3)若x∈
時，函數f(x)的值域是[0,1]，求實數a的值．
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