Question

（2013•江門一模）如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上除A、B外的一點，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC．已知CD=BE，AB=4，tan∠EAB=

1

4

．
（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；
（2）當三棱錐C-ADE體積最大時，求三棱錐C-ADE的高．

Answer 1

分析：（1）要證兩個面相互垂直，可證平面ADE經過平面ACD的一條垂線DE，根據，△AED在平面ABC的投影恰好是△ABC，說明CD和BE都垂直于底面ABC，又CD=BE，可證DE∥BC，利用線面垂直的判定定理可證BC⊥面ACD，從而使問題得證；
（2）把三棱錐C-ADE體積轉化為三棱錐E-ACD的體積，寫出體積公式后利用基本不等式求體積最大值，并且得到使體積最大時的多面體A-BEDC的確切形狀，然后利用等積法可求三棱錐C-ADE的高．

解答：（1）證明：因為AB是直徑，所以BC⊥AC，因為△ABC是△AED的投影，所以CD⊥平面ABC，則CD⊥BC，
因為CD∩AC=C，所以BC⊥平面ACD，
因為CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，所以CD∥BE，又因為CD=BE，所以BCDE是平行四邊形，
∴BC∥DE，則DE⊥平面ACD，因為DE?平面ADE，所以平面ADE⊥平面ACD；
（2）在直角三角形AEB中，EB=AB•tan∠EAB=4×

1

4

=1，
由（1）知VC-ADE=VE-ACD=

1

3

S△ACD•DE
=

1

3

×

1

2

AC•CD•DE=

1

6

AC•EB•BC=

1

6

AC•BC≤

1

12

×(AC2+BC2)=

1

12

×AB2=

4

3

，
等號當且僅當AC=BC=2

2

時成立，
此時，AD=

AC2+CD2

=

12+(2 2 )2

=3，
S△ADE=

1

2

AD•DE=

1

2

×3×2

2

=3

2

，
設三棱錐C-ADE的高為h，
則VC-ADE=

1

3

S△ADE•h=

4

3

，
∴

1

3

×3

2

•h=

4

3

．
∴h=

2 2

3

．
所以，當三棱錐C-ADE體積最大時，三棱錐C-ADE的高為

2 2

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的判定和性質，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，訓練了利用基本不等式求最值，求棱錐體積最大時的棱錐的高時，運用了等積法，體現了數學轉化思想，屬于中檔題．