Question

已知圓，直線。
（Ⅰ）求證：對，直線與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）設與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）若定點P（1，1）分弦AB為，求此時直線的方程

Answer 1

（Ⅰ）解法一：圓的圓心為，半徑為。
∴圓心C到直線的距離
∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；

方法二：∵直線過定點，而點在圓內∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；
（Ⅱ）當M與P不重合時，連結CM、CP，則，
∴
設，則，
化簡得：
當M與P重合時，也滿足上式。
故弦AB中點的軌跡方程是。
（Ⅲ）設，由得，
∴，化簡的………………①
又由消去得……………（*）
∴  ………………………………②
由①②解得，帶入（*）式解得，
∴直線的方程為或

略