Question

已知集合P是滿足下述性質的函數f（x）的全體：存在非零常數M，對于任意的x∈R，都有f（x+M）=-Mf（x）成立．
（1）設函數g（x）=sinπx，試證明：g（x）∈P；（2）當M=1時，試說明函數f（x）的一個性質，并加以證明；
（3）若函數h（x）=sinωx∈P，求實數ω的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）可取M=1，驗證即可；
（2）M=1時，由f（x+1）=-f（x）可得到函數f（x）的一個性質：周期性；
（3）由題意可得h（x+M）=-Mh（x）成立，既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx，可對M分|M|＞1，|M|＜1及|M|=1三種情況討論解決．

解答：解：（1）取 M=1  對于任意x∈R，g（x+M）=sin（πx+π）=-sinπx=-g（x）=Mf（x）∴g（x）∈P
（2）M=1時，f（x+1）=-f（x）f（x+2）=-f（x+1）=f（x）∴f（x）是一個周期函數，周期為2；
（3）∵h（x）=sinωx∈P∴存在非零常數M，對于對于任意的x∈R，都有h（x+M）=-Mh（x）成立．  既 sin（ωx+ωM）=-Msinωx
若|M|＞1，取sinωx=1，則 sin（ωx+ωM）=-M對x∈R恒成立時不可能的．
若|M|＜1，取sin（ωx+ωM）=1，則  sinωx=-

1

M

對x∈R也不成立．∴M=±1
當 M=1時   sin（ωx+ω）=-sinωx，sin（ωx+ω）+sinωx=0，2sin(ωx+

ω

2

)•cos

ω

2

=0（x∈R），cos

ω

2

=0解得：ω=2kπ+π（k∈Z）；
當M=-1時  sin（ωx-ω）=sinωx，sin（ωx-ω）-sinωx=0，2cos(ωx-

ω

2

)•sin(-

ω

2

)=0（x∈R），sin

ω

2

=0解得：ω=2kπk∈Z
綜上可得ω=kπ（k∈Z）

點評：本題考查三角函數的周期性與最值，難點在于（3）中對M取值范圍的分類討論及和差化積公式與根據三角函數值求角的靈活應用，屬于難題．