Question

已知數列{a_n}滿足a_n＞0且對一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，a₁+a₂+…+a_n．
（Ⅰ）求證：對一切n∈N^*有

a

2 n+1

-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）求數列{a_n}通項公式；
（Ⅲ）求證：

1

a 2 1

+

2

a 2 2

+

3

a 2 3

+…+

n

a 2 n

＜3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，再寫一式，兩式相減，化簡可得結論；
（Ⅱ）由a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，可得a_n+1²+a_n+1=2S_n+1，再寫一式，兩式相減，可得數列{a_n}是以首項為a₁=1，公差為1的等差數列，從而可得數列的通項公式；
（Ⅲ）利用放縮法可得

n

a 2 n

=

n

n2

=

1

n3

＜

2

(n-1)(n+1) ×2 n

＜

2

(n-1)(n+1) ×( n-1 + n+1 )

=

1

n-1

-

1

n+1

，再利用疊加法，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）證明：∵數列{a_n}滿足：a_n＞0，且對一切n∈N^*，有a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，…①
所以a₁³+a₂³+…+a_n³+a_n+1³=S_n+1²，…②
①-②得a_n+1³=S_n+1²-S_n²=a_n+1（S_n+1+S_n），
則a_n+1²=S_n+1+S_n=a_n+1+2S_n，
所以a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（Ⅱ）解：因為a_n+1²-a_n+1=2S_n=2S_n+1-2a_n+1，
所以a_n+1²+a_n+1=2S_n+1…③
則a_n²+a_n=2S_n…④
③-④得2a_n+1=（a_n+1²-a_n²）+（a_n+1-a_n），
從而a_n+1-a_n=1．
又a₁=1，所以數列{a_n}是以首項為a₁=1，公差為1的等差數列
所以a_n=n；
（Ⅲ）證明：∵a_n=n，∴

n

a 2 n

=

n

n2

=

1

n3

＜

2

(n-1)(n+1) ×2 n

＜

2

(n-1)(n+1) ×( n-1 + n+1 )

=

1

n-1

-

1

n+1

∴

1

a 2 1

+

2

a 2 2

+

3

a 2 3

+…+

n

a 2 n

＜1+（1-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）=2+

1

2

-

1

n

-

1

n+1

＜3．

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查不等式的證明，正確求通項是關鍵．