Question

【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C所對邊的邊長，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1)．

(1)若λ＝時，證明：△ABC為直角三角形；

(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2

【解析】

(1)利用正弦定理化簡a＋b＝λc即得B＝或B＝,分析得到△ABC為直角三角形.(2)化

簡·＝λ2得ab＝λ2，再結合余弦定理得到關于λ的值，解方程即得λ的值.

(1)證明：因為λ＝，所以a＋b＝c，由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，

因為C＝，所以sin B＋sin＝，所以sin B＋cos B＝，則sin＝，所以B＋＝或B＋＝，B＝或B＝.

若B＝，則A＝，△ABC為直角三角形；

若B＝，△ABC亦為直角三角形．

（2）解：若·＝λ2，則a·b＝λ2，所以ab＝λ2.

又a＋b＝3λ，由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，故9λ2－λ2＝λ2＝9，λ2＝4，即λ＝2.