Question

已知向量

a

=(

3

sin3x ，- y) ， 

b

=(m ， cos3x-m)（m∈R），且

a

+

b

=

0

．設y=f（x）．
（1）求f（x）的表達式，并求函數f（x）在[

π

18

 ， 

2π

9

]上圖象最低點M的坐標．
（2）若對任意x∈[0 ， 

π

9

]，f（x）＞t-9x+1恒成立，求實數t的范圍．

Answer 1

分析：（1）根據所給的向量之間的關系，寫出關于三角函數的關系式，消元得到函數式，整理成可以解決三角函數性質的形式，根據所給的變量的范圍得到三角函數的范圍．
（2）本題是一個函數的恒成立問題，寫出關系式，分離參數，要證一個變量恒小于一個函數式時，要用一種函數思想，即只要這個變量小于函數的最小值即可．

解答：解：（1）∵

a

+

.

b

=

.

0

，即

3 sin3x+m=0 -y+cos3x-m=0

，
消去m，得y=

3

sin3x+cos3x，
即f(x)=

3

sin3x+cos3x=2sin(3x+

π

6

)，
x∈[

π

18

 ， 

2π

9

]時，3x+

π

6

∈[

π

3

 ， 

5π

6

]，sin(3x+

π

6

)∈[

1

2

 ，1]，
即f（x）的最小值為1，此時x=

2π

9

∴函數f（x）的圖象上最低點M的坐標是(

2π

9

， 1)
（2）∵f（x）＞t-9x+1，即2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1，
當x∈[0 ， 

π

9

]時，函數f(x)=2sin(3x+

π

6

)單調遞增，y=9x單調遞增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x在[0 ， 

π

9

]上單調遞增，
∴y=2sin(3x+

π

6

)+9x的最小值為1，
為要2sin(3x+

π

6

)+9x＞t+1恒成立，只要t+1＜1，
∴t＜0為所求．

點評：本題是一個三角函數同向量結合的問題，是以向量平行的充要條件為條件，得到三角函數的關系式，是一道綜合題，在高考時可以以選擇和填空形式出現．