Question

22.

    設A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點.

   （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程；

（Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由.

Answer 1

22.本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎知識以及推理運算能力和綜合解決問題的能力.

（I）解法1：依題意，可設直線AB的方程為，整理得

   ①

設①的兩個不同的根，

   ②

是線段AB的中點，得

解得k=-1，代入②得，>12，即的取值范圍是（12，+）.

于是，直線AB的方程為

解法2：設

依題意，

（II）解法1：

代入橢圓方程，整理得

  ③

③的兩根，

于是由弦長公式可得

   ④

將直線AB的方程

   ⑤

同理可得

    ⑥

假設存在>12，使得A、B、C、D四點共圓，則CD必為圓的直徑，點M為圓心.點M到直線AB的距離為

     ⑦

于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得

故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上.

（注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得）

A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角

   ⑧

由⑥式知，⑧式左邊=

由④和⑦知，⑧式右邊=

                  

∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓

解法2：由（II）解法1及，

代入橢圓方程，整理得

       ③

將直線AB的方程代入橢圓方程，整理得

　　　⑤

解③和⑤式可得

 

不妨設

）.

∴

。

計算可得，∴A在以CD為直徑的圓上.

又B為A關于CD的對稱點，∴A、B、C、D四點共圓.

（注：也可用勾股定理證明AC⊥AD）.