Question

已知函數f(x)對任意的m，n∈R都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且當x＞0時，f(x)＞1，
(1)求證：f(x)是R上的增函數；
(2)若f(3)=4且a＞0，解關于x的不等式：f()＞2。

Answer 1

(1)證明：設，且，則，
∴，
又
=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1-f(x₁)＞0，
∴f(x)是R上的增函數．
(2)解：∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)-1=2f(1)-1+f(1)-1=3f(1)-2=4，
∴f(1)=2，
又，f(x)是R上的增函數，
∴，即，
(ⅰ)當0＜a＜1時，，
原不等式等價于，
∴原不等式的解集為；
(ⅱ)當a=1時，原不等式等價于，
∴原不等式的解集為{x|x＞2}；
(ⅲ)當a＞1時，，
原不等式等價于，
∴原不等式的解集為{x|或x＞2}；
綜上所述，當0＜a＜1時，原不等式的解集為；
當a=1時，原不等式的解集為{x|x＞2}；
當a＞1時，原不等式的解集為{x|或x＞2}。