Question

（本題13分）已知數列{a_n}中，a₁ = t (t≠0，且t≠1)，a₂ = t²．且當x = t時，函數f (x) =(a_n a_{n 1})x² (a_{n + 1} a_n) x    (n≥2)取得極值．

    （1）求證：數列{a_{n + 1} a_n}是等比數列；

    （2）若b_n = a_n ln |a_n| (n∈N⁺)，求數列{b_n}的前n項的和S_n；

    （3）當t = 時，數列{b_n}中是否存在最大項？如果存在，說明是第幾項，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解析:（1）由已知f′(t) = (a_n a_n-1)?t (a_{n + 1} a_n) = 0．

    即 (a_n a_{n 1}) t = (a_{n + 1} a_n)

    又a₂ a₁ = t² t，t≠0且t≠1．

    ∴a₂ a₁≠0．

    ∴

    ∴數列{a_{n + 1} a_n}是首項為t² t，公比為t的等比數列．……………………4分

   （2）由（1）知a_{n + 1} a_n = (t² t)?tⁿ¹ = t ⁿ⁺¹ t ⁿ．

    ∴a_n a_n1 = tⁿ tⁿ¹；    a_n1 a_n = tⁿ¹ tⁿ²；……a₂ a₁ = t² t

    以上n個式子相加：a_na₁ = tⁿ t， a_n = tⁿ， (t≠0且t≠1)．………………6分

    b_n = a_n ln |a_n| = tⁿ?ln |tⁿ| = n?tⁿ?ln|t|．

    ∴S_n = (t + 2?t² + 3?t³ + … +n?tⁿ )?ln |t|

    t S_n = (t² + 2t³ + …+ nt^{n + 1}) ln |t|

    ∴S_n = …………………………………………9分

    （3）因為t =，即1＜t＜0．

    ∴當n為偶數時，b_n = n?t ⁿ ln| t |＜0

      當n為奇數時，b_n = n?t ⁿ ln| t |＞0

    所以最大項必須為奇數項．…………………………………………10分

    設最大項為b_{2k + 1}，則有

    即．

    整理得：    將

    ∵k∈N⁺    ∴k = 2．

    即數列{b_n}中的最大項為第5項．………………………………13分