Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，bc≠0），，F(xiàn)(x)=

f(x) x＞0 -f(x) x＜0.

（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的最小值是f（-1）=0，且f（0）=1，求F（2）+F（-2）的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，f（x）＞x+k在區(qū)間[-3，-1]恒成立，試求k的取值范圍；
（Ⅲ）令g（x）=2ax+b，若g（1）=0，又f（x）的圖象在x軸上截得的弦的長度為m，且 0＜m≤2，試確定c-b的符號．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得a=1，b=2，所以f（x）=（x+1）²，F(x)=

(x+1)2 (x＞0) -(x+1)2 (x＜0)

由此能夠求出F（2）+F（-2）的值．
（Ⅱ）由x²+x+1-k＞0在區(qū)間[-3，-1]恒成立，知k＜x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，由此入手能夠求出k的取值范圍．
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，設(shè)方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，由根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合題設(shè)條件能夠確定c-b的符號．

解答：解：（Ⅰ）由已知c=1，a-b+c=0，且-

b

2a

=-1．
解得a=1，b=2，
∴f（x）=（x+1）²，∴F(x)=

(x+1)2 (x＞0) -(x+1)2 (x＜0)

，
∴F（2）+F（-2）=（2+1）²+[-（-2+1）²]=8．
（Ⅱ）在（Ⅰ）條件下，f（x）＞x+k在區(qū)間[-3，-1]恒成立，即x²+x+1-k＞0在區(qū)間[-3，-1]恒成立，
從而k＜x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上恒成立，
令函數(shù)p（x）=x²+x+1，
則函數(shù)p（x）=x²+x+1在區(qū)間[-3，-1]上是減函數(shù)，且其最小值p（x）_min=p（-1）=1，
∴k的取值范圍為（-∞，1）
（Ⅲ）由g（1）=0，得2a+b=0，
∵a＞0∴b=-2a＜0，
設(shè)方程f（x）=0的兩根為x₁，x₂，則x1+x2=-

b

a

=2，x1x2=

c

a

，
∴m=|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x 2

=

4- 4c a

，
∵0＜m≤2，∴0＜

4- 4c a

≤2，∴0≤

c

a

＜1，
∵a＞0且bc≠0，∴c＞0，
∴c-b＞0

點評：本題考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意隱含條件的合理運用．