Question

在平面直角坐標系中，已知A₁(-3,0)、A₂(3,0)、P(x,y)、M(,0)，若實數λ使向量、λ、滿足λ²·()²=·.

(1)求P點的軌跡方程，并判斷P點的軌跡是怎樣的曲線；

(2)當λ=時，過點A₁且斜率為1的直線與(1)中的曲線相交的另一點為B，能否在直線x=-9上找一點C，使△A₁BC為正三角形.

Answer 1

解：(1)由已知可得=(x+3,y), =(x-3,y), =(x²-9,0).

    ∵λ²()²=·,

    ∴λ²(x²-9)=x²-9+y²,

    即P點的軌跡方程是(1-λ²)x²+y²=9(1-λ²).

    當1-λ²＞0且λ≠0，即λ∈(-1,0)∪(0,1)時，有+=1,P點的軌跡是橢圓；

    當λ=0時，方程為x²+y²=9,P點的軌跡是圓；

    當1-λ²＜0，即λ∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時，方程為-=1,P點的軌跡是雙曲線；

    當1-λ²=0，即λ=±1時，方程為y=0，P點的軌跡是直線.

    (2)過點A₁且斜率為1的直線方程為y=x+3.

    當λ=時，曲線方程為+=1.

    由得5x²+18x+9=0,x₁=-3,x₂=-.

    從而|A₁B|=|x₂-x₁|=.

    設C(-9,y),|A₁C|==,

    因為△A₁BC是正三角形，|A₁B|=|A₁C|，=，即y²=-,無解.

    所以在直線x=3上找不到點C，使△A₁BC是正三角形.