Question

（本題9分）給出下面的數表序列：

表1	表2	表3	…
1	1   3	1   3   5
	4	4   8
		12

   其中表有行，第1行的個數是1，3，5，…，，從第2行起，每行中的每個數都等于它肩上的兩數之和。
（1）寫出表4，驗證表4各行中數的平均數按從上到下的順序構成等比數列，并將結論推廣到表（不要求證明）
（2）每個數表中最后一行都只有一個數，它們構成數列1，4，12，…，記此數列為，求數列的前項和

Answer 1

解：（1）表4為
1    3    5    7
4    8  12
12  20
32
它的第1，2，3，4行中的數的平均數分別是4，8，16，32，它們構成首項為4，公比為2的等比數列。
將這一結論推廣到表，
表的第1行是1，3，5，…，，其平均數是。
即表各行中的數的平均數按從上到下的順序構成首項為，公比為2的等比數列。   …………………………………………………………………………………4分
（2）由（1）知，表中最后一行的唯一一個數為。
設
        ①
設       ② 
由①－②得，   
整理，得
              …………………………………………………9分

解析