Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，E，F分別是AB，PD的中點，若
①求證：AF∥平面PCE
②求證：平面PCE⊥平面PCD
③求直線FC與平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：①根據有中點找中點做出輔助線，得到三組線線平行，得到四邊形是一個平行四邊形，得到線線平行，根據線面平行的判斷得到結論．
②要證明面面垂直，根據證明面面垂直的判斷需要找一條和兩個平面垂直的一條直線，根據線面垂直的判斷和性質，得到結論．
③在平面PCD內作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC與平面PCE所成的角，在這個可解的三角形中，求出角的正弦值．
解答：解：①取PC中點G，連接EG，FG；又由F為PD中點
∴FGCD又∵AECD∴FGAE∴四邊形AEFG是平行四邊形
∴AF∥EG
又AF?平面PCEEG?平面PCE∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
∵PA=ADF為AD中點∴AF⊥PD∵PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD內作FH⊥PC，則FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC與平面PCE所成的角
在△FCH中，，∴
∴直線FC與平面PCE所成角的正弦值為（12分）
點評：本題考查空間的點線面之間的位置關系和二面角的求法，解題的關鍵是畫出二面角的平面角，把平面角放到一個可解的三角形中求解．