Question

（1）若（1+x）ⁿ的展開式中，x³的系數是x的系數的7倍，求n；
（2）若（ax+1）⁷（a≠0）的展開式中，x³的系數是x²的系數與x⁴的系數的等差中項，求a；
（3）已知（2x+x^lgx）⁸的展開式中，二項式系數最大的項的值等于1120，求x．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出x³的系數和x的系數，列出方程求出n
（2）利用二項展開式的通項公式求出x³的系數，x²的系數與x⁴的系數，列出方程求出a
（3）利用二項式系數的性質中間項的二項式系數最大，列出方程求出x
解答：解：（1）．
（2）C₇⁵a²+C₇³a⁴=2C₇⁴a³，21a²+35a⁴=70a³，a≠0，
得．
（3）展開式共有9項，據二項式系數的性質：中間項的二項式系數最大
C₈⁴（2x）⁴（x^lgx）⁴=1120，x^4（1+lgx）=1，lg²x+lgx=0，
得lgx=0，或lgx=-1，
所以．
點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決二項展開式的特定項問題；二項式系數的性質．