Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點F₁（-c，0）、F₂（c，0），M是橢圓C上一點，且滿足∠F1MF2=

π

3

．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；（2）設O為坐標原點，P是橢圓C上的一個動點，試求t=

|PF1-PF2|

|OP|

的取值范圍．

Answer 1

（1）在△MF₁F₂中，MF₁²+MF₂²-2MF₁•MF₂cos∠F₁MF₂=4c²
即：（MF₁+MF₂）²-3MF₁•MF₂=4c²
即：4a²-3MF₁•MF₂=4c²，則3MF₁•MF₂=4a²-4c²MF1•MF2≤(

MF1+MF2

2

)2=a2，當且僅當MF₁=MF₂=a時，取等號
∴4a²-4c²≤3a²，即a²≤4c²
∴e2≥

1

4

即e∈[

1

2

，1)（5分）
（2）令OP=m，則m∈[b，a]（10分）
又PF₁+PF₂=2a
在三角形O與三角形O中分別用余弦定理表示出PF₁²與PF₂²兩式相加可得：PF₁²+PF₂²=2m²+2c²
則（PF₁-PF₂）²=4（m²+c²-a²）
∴t=

2 m2+c2-a2

m

=2

1- a2-c2 m2

∵m∈[b，a]，∴

a2-c2

a2

≤

a2-c2

m2

≤

a2-c2

b2

即0≤1-

a2-c2

m2

≤

c2

a2

，
∴t的取值范圍是0≤t≤

2c

a

．     （16分）