Question

（2012•宿州三模）已知數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=t（S_n-a_n+1）（t＞0），且4a₃是a₁與2a₂的等差中項．
（Ⅰ）求t的值及數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設b_n=

2n+1

an

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當n≥2時，S_n=t（S_n-a_n+1），再寫一式，兩式相減，可得{a_n}是首項a₁=t，公比等于t的等比數列，利用4a₃是a₁與2a₂的等差中項，即可求得結論；
（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n=（2n+1）×2ⁿ，利用錯位相減法，可求數列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，S₁=t（S₁-a₁+1），所以a₁=t，
當n≥2時，S_n=t（S_n-a_n+1）①
S_n-1=t（S_n-1-a_n-1+1），②
①-②，得a_n=t•a_n-1，即

an

an-1

=t．
故{a_n}是首項a₁=t，公比等于t的等比數列，所以a_n=tⁿ，…（4分）
故a2=t2，a3=t3
由4a₃是a₁與2a₂的等差中項，可得8a₃=a₁+2a₂，即8t³=t+2t²，
因t＞0，整理得8t²-2t-1=0，解得t=

1

2

或t=-

1

4

（舍去），
所以t=

1

2

，故a_n=

1

2n

．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），得b_n=

2n+1

an

=（2n+1）×2ⁿ，
所以T_n=3×2+5×2²+7×2³+…+（2n-1）×2^n-1+（2n+1）×2ⁿ，③
2T_n=3×2²+5×2³+7×2⁴+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）×2ⁿ⁺¹，④
③-④，得-T_n=3×2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n+1）×2ⁿ⁺¹      …（8分）
=-2+2ⁿ⁺²-（2n+1）×2ⁿ⁺¹=-2-（2n-1）×2ⁿ⁺¹…（11分）
所以T_n=2+（2n-1）×2ⁿ⁺¹．…（12分）

點評：本題考查數列遞推式，考查數列的通項，考查錯位相減法求數列的和，確定數列為等比數列是關鍵．