Question

已知函數f（x）=lg

1+x

1-x

．
（1）判斷f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調性，并證明．
（3）求證：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）
（4）若f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1-ab

）=2（-1＜a＜1，-1＜b＜1），求f（a），f（b）的值．

Answer 1

分析：（1）先判斷函數的定義域是否關于原點對稱，若對稱再判斷f（-x）與f（x）的關系，易判斷函數的奇偶性；
（2）利用定義法（作差法），任取區間（0，1）上的兩個實數，a，b且a＜b，然后判斷f（a）與f（b）的大小，結合函數單調性的定義即可得到結論；
（3）根據函數解析式，及對數的運算性質，分別計算出f（a）+f（b）與f(

a+b

1+ab

)的值，即可得到結論；
（4）根據f（

a+b

1+ab

）=1，f（

a-b

1-ab

）=2結合（3）的結論，我們易構造一個關于f（a）與f（b）的方程組，解方程組即可得到結論．

解答：解：（1）∵

1+x

1-x

＞0
∴-1＜x＜1，即函數的定義域（-1，1）
∵定義域關于原點對稱
f（-x）=lg

1-x

1+x

=lg

1+x

1-x

=-f（x）故f（x）為奇函數
（2）任取區間（0，1）上的兩個實數，a，b且a＜b
則f（a）-f（b）=lg

1+a

1-a

-lg

1+b

1-b

=lg(

1+a

1-a

÷

1+b

1-b

)=lg(

1+a

1-a

•

1-b

1+b

)＞0
即f（a）＞f（b）
∴f（x）在（0，1）上為減函數．
（3）∵f（a）+f（b）=lg

1+a

1-a

+lg

1+b

1-b

=lg

1+a+b+ab

1-a-b-ab

又∵f(

a+b

1+ab

)=lg

1+ a+b 1+ab

1- a+b 1+ab

=lg

1+a+b+ab

1-a-b+ab

，
∴f（a）+f（b）=f(

a+b

1+ab

)
（4）∵f（a）+f（b）=f(

a+b

1+ab

)
∴f（a）+f（b）=1
f（a）+f（-b）=f(

a-b

1-ab

)，
∴f（a）+f（-b）=2
∵f（-b）=-f（b），
∴f（a）-f（b）=2，
解得：f（a）=

3

2

，f（b）=-

1

2

．

點評：本題考查的知識點是函數的奇偶性判斷，函數的單調性證明，對數的運算性質，抽象函數求值，熟練掌握函數性質的定義是解答本題的關鍵．