Question

【題目】如圖，三棱錐中，，，點，分別是棱，的中點，點是的重心.

（1）證明：平面；

（2）若與平面所成的角為，且，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）根據等腰三角形三線合一可證，再證得到即可得證平面.

（2）連接并延長交于點，則點為的中點，連接，可得平面，即為與平面所成的角，由勾股定理可計算出、的值，根據求出錐體的體積.

（1）∵，是的中點，∴.

∵，是的中點，∴，

又，，∴.

∴，即.

平面，平面，且，

∴平面.

（2）連接并延長交于點，則點為的中點，連接，則.

由（1）得平面，∴為與平面所成的角，即.

又在中，，∴，.

∵是的重心，，分別是，的中點，∴，.

∵，，，分別是，中點，∴，，，

則在中，，∴.

所以三棱錐的體積.