Question

已知△ABC的三邊長|AB|=,|BC|=4,|AC|=1,動點M滿足=λ+μ,且λμ=.

(1)求||最小值,并指出此時與,的夾角;
(2)是否存在兩定點F₁,F₂使|||-|||恒為常數k?若存在,指出常數k的值,若不存在,說明理由.

Answer 1

(1)    或   (2) 存在   k=2

解:(1)由余弦定理知:
cos∠ACB==⇒∠ACB=.
因為||²==(λ+μ)²
=λ²+16μ²+2λμ·
=λ²+16μ²+1≥3.
所以||≥,當且僅當λ=±1時,“=”成立.
故||的最小值是,
此時<,>=<,>=或.
(2)以C為坐標原點,∠ACB的平分線所在直線為x軸建立直角坐標系(如圖),則A,B(2,-2),
設動點M(x,y),

因為=λ+μ,
所以⇒
再由λμ=知-y²=1,
所以,動點M的軌跡是以F₁(-2,0),F₂(2,0)為焦點,實軸長為2的雙曲線,
即存在兩定點F₁(-2,0),F₂(2,0)使|||-|||恒為常數2,即k=2.