Question

有如下4個命題：
①若cosθ＜0，則θ是第二、三象限角；
②在△ABC中，D是邊BC上的點，且BD=

1

2

DC，則

AD

=

2

3

AB

+

1

3

AC

；
③命題p：0是最小的自然數，命題q：?x∈R，lgx≠1，則”p∧（?q）”為真命題；
④已知△ABC外接圓的圓心為O，半徑為1，若

AB

+

AC

=2

AO

，且|

AB

|=|

AO

|，則向量

CA

在

CB

方向上的投影為

3

2

．
其中真命題的序號為

②③

．

Answer 1

分析：①cosθ=-1＜0，θ不是第二、三象限角；②利用向量的線性運算可得

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

1

3

(

AC

-

AB

)=

2

3

AB

+

1

3

AC

；③命題p是真命題；命題q是假命題，所以p∧（?q）為真命題，故③正確；④延長AO交圓O于點D，連接BD，CD，則可知ABDC為平行四邊形且為矩形，故可求向量

CA

在

CB

方向上的投影為0，從而可得結論

解答：解：①cosθ=-1＜0，θ不是第二、三象限角，故①錯誤；
②

AD

=

AB

+

BD

=

AB

+

1

3

(

AC

-

AB

)=

2

3

AB

+

1

3

AC

，故②正確；
③命題p：0是最小的自然數，是真命題；命題q：?x∈R，lgx≠1，是假命題，所以p∧（?q）為真命題，故③正確；
④延長AO交圓O于點D，連接BD，CD，∵

AB

+

AC

=2

AO

，∴

AB

+

AC

=

AD

，∴ABDC為平行四邊形且為矩形
∴向量

CA

在

CB

方向上的投影為0，故④錯誤
故答案為：②③

點評：本題以命題為載體，考查三角函數，考查向量的線性運算，考查復合命題，知識點多，需一一考慮．