Question

如圖，在大沙漠上進行勘測工作時，先選定一點作為坐標原點，然后采用如下方法進行：從原點出發，在x軸上向正方向前進a（a＞0）個單位后，向左轉90°，前進a r（0＜r＜1=個單位，再向左轉90°，又前進a r²個單位，…，如此連續下去．
（1）若有一小分隊出發后與設在原點處的大本營失去聯系，且可以斷定此小分隊的行動與原定方案相同，則大本營在何處尋找小分隊？
（2）若其中的r為變量，且0＜r＜1，則行動的最終目的地在怎樣的一條曲線上？

Answer 1

分析：（1）小分隊按原方案走，小分隊最終應在運動的極限位置．
（2）可先求最終目的地關于r的參數形式的方程，消去參數即可得到曲線的方程．

解答：解：（1）由已知可知小分隊的行動與原定方案相同，小分隊最終在運動的極限位置，設運動的極限位置為Q （x，y），
則x=a-ar²+ar⁴-=

a

1-(-r2)

=

a

1+r2

，y=ar-ar³+ar⁵-=

ar

1+r2

，
∴大本營應在點（

a

1+r2

，

ar

1+r2

）附近去尋找小分隊．
（2）由

x= a 1+r2 y= ar 1+r2

消去r得（x-

a

2

）²+y²=

a2

4

（其中x＞

a

2

，y＞0），
即行動的最終目的地在以（

a

2

，0）為圓心，

a

2

為半徑的圓上．

點評：考查學生掌握連續的定義，會利用極限的方程解決實際問題，會把參數方程轉化為普通方程．