Question

【題目】如圖，曲線c1：y2=2px（p＞0）與曲線c2：（x﹣6）2+y2=36只有三個公共點O，M，N，其中O為坐標原點，且 =0．
（1）求曲線c1的方程；
（2）過定點M（3，2）的直線l與曲線c1交于A，B兩點，若點M是線段AB的中點，求線段AB的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：由對稱性知MN⊥x軸于點（6，0），且|MN|=12

所以M（6，6），

所以62=2p×6

所以p=3

所以曲線為y2=6x

（2）解：設A（x1，y1），B（x2，y2）

因為（3，2）是AB中點

所以x1+x2=6，y1+y2=4

則由點差法得k= =

所以直線l：3x﹣2y﹣5=0

由

所以由韋達定理

所以|AB|= =

【解析】（1）由對稱性知MN⊥x軸于點（6，0），且|MN|=12，可得M的坐標，代入拋物線方程，即可求曲線c1的方程；（2）利用點差法求出直線AB的斜率，可得AB的方程，與拋物線方程聯立，結合弦長公式，可求線段AB的長度．