Question

【題目】(導學號：05856335)[選修4－4：坐標系與參數方程]

以原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系．已知A(2，π)，B(2， )，圓C的極坐標方程為ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.F為圓C上的任意一點．

(Ⅰ)寫出圓C的參數方程；

(Ⅱ)求△ABF的面積的最大值．

Answer 1

【答案】(1) (2) 9＋2

【解析】試題分析：（1）圓C的極坐標方程為ρ2﹣6ρcosθ+8ρsinθ+21=0，利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，x=ρcosθ即可化為直角坐標方程，利用cos2α+sin2α=1可得參數方程．

（2）A（2，π），B（2， ），分別化為直角坐標：A（﹣2，0），B（0，2）．可得|AB|=2，直線AB的方程為：x﹣y+2=0．因此圓C上的點F到直線AB的距離取得最大值時，△ABF的面積取得最大值．

試題解析：

(Ⅰ)因為ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0，故x2＋y2－6x＋8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y＋4)2＝4，故圓C的參數方程為 (θ為參數).

(Ⅱ)易知A(－2,0)，B(0,2)，故直線AB的方程為x－y＋2＝0，

點F(x，y)到直線AB：x－y＋2＝0的距離為d＝，

△ABF的面積S＝×|AB|×d

＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝|2sin(－θ)＋9|，

所以△ABF面積的最大值為9＋2.