Question

（本小題滿分14分）

如圖6所示，等腰三角形△ABC的底邊AB=，高CD=3.點E是線段BD上異于B、D的動點.點F在BC邊上，且EF⊥AB.現沿EF將△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE.

記BE=x，V（x）表示四棱錐P-ACFE的體積。

 （1）求V(x)的表達式；

 （2）當x為何值時，V(x)取得最大值？

 （3）當V（x）取得最大值時，求異面直線

AC與PF所成角的余弦值。

Answer 1

3（1-）(0<x<3)

x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 

 

解析:

(1)已知EFAB,那么翻折后，顯然有PEEF,又PEAE,    從而PE面ABC,即PE為四棱錐的高。

四棱錐的底面積S=-

而△BEF與△BDC相似，那么

===

則S=-=（1-）63=9（1-）

故四棱錐的體積V(x)=SH=9（1-）=3（1-）(0<x<3)

(2) V’(x)= 3-x²(0<x<3)

令V’(x)=0得x=6

當x∈(0，6)時，V’(x)>0,V(x)單調遞增；x∈(6，3)時V’(x)><0,V(x)單調遞減；

因此x=6時， V(x)取得最大值V(x)max= V(6)=12 

     (3)過P作PQ∥AC交AB于點Q

那么△PQF中PF=FQ=，而PQ=6

進而求得cos∠PFQ=     

故異面直線AC與PF所成角的余弦值為    .