Question

已知函數f（x）=asinx-x+b（a、b均為正的常數）．
（1）求證函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）設函數f（x）在x=

π

3

處有極值
①對于一切x∈[0，

π

2

]，不等式f（x）＞sinx+cosx總成立，求b的取值范圍；
②若函數f（x）在區間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0，可得函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）利用函數f（x）在x=

π

3

處有極值，可得a=2
①不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx-sinx+x對于一切x∈[0，

π

2

]總成立，可求g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是單調增函數，且最大值為-1+

π

2

，故可求b的取值范圍；
②由f′（x）=2cosx-1＞0，可x得函數f（x）單調遞增區間為(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z），利用函數f（x）在區間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增，可建立不等式組，從而可求實數m的取值范圍．

解答：（1）證明：∵函數f（x）=asinx-x+b，a、b均為正的常數
∴f（0）=b＞0，f（a+b）=asin（a+b）-a-b+b=a[sin（a+b）-1]≤0
∴函數f（x）在（0，a+b]內至少有一個零點；
（2）f′（x）=acosx-1，
∵函數f（x）在x=

π

3

處有極值，∴f′（

π

3

）=acos

π

3

-1=0，∴a=2
∴f（x）=asinx-x+b=2sinx-x+b
①不等式f（x）＞sinx+cosx等價于b＞cosx-sinx+x對于一切x∈[0，

π

2

]總成立
設g（x）=cosx-sinx+x，∴g′（x）=-sinx-cosx+1=-

2

sin(x+

π

4

)+1
∵x∈[0，

π

2

]，∴x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，∴-

2

sin(x+

π

4

)+1≤0，
∴g′（x）≤0
∴g（x）=cosx-sinx+x在[0，

π

2

]上是單調減函數，且最大值為1
欲使b＞cosx-sinx+x對于一切x∈[0，

π

2

]總成立，只需要b＞1即可
②由f′（x）=2cosx-1＞0，可得x∈(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z）
∴函數f（x）單調遞增區間為(-

π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ)（k∈Z）
∵函數f（x）在區間（

m-1

3

π，

2m-1

3

π)上單調遞增
∴

m-1 3 π≥- π 3 +2kπ 2m-1 3 π≤ π 3 +2kπ m-1 3 π＜ 2m-1 3 π

，∴6k≤m≤1+3k，且m＞0
∵6k≤1+3k，1+3k＞0（k∈Z），
∴-

1

3

＜k≤0
∴k=0，0≤m≤1
即實數m的取值范圍為[0，1]．

點評：本題考查函數的零點，考查恒成立問題，考查函數的單調性，解題的關鍵是正確求導，確定函數的最值與單調區間．