Question

對任意x，y滿足f（x+y）=f（x）f（y），若f（1）=2，n∈N^*，則f（

1

3n

）=

 

．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用

專題：計算題,函數的性質及應用,等差數列與等比數列

分析：由題意可得，f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），利用迭代法求函數的值．

解答： 解：∵f（x+y）=f（x）f（y），
∴f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）
=f（

2

3n

）•f（

1

3n

）=f（

3

3n

）=f（

1

3n-1

），
∴f（

1

3n-1

）=f（

1

3n

）•f（

1

3n

）•f（

1

3n

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

），f（

1

3

）=f³（

1

32

），
f（

1

32

）=f³（

1

33

），…，
f（

1

3n-1

）=f³（

1

3n

），
∴f（1）=f³（

1

3

）=f⁹（

1

32

）=f33(

1

33

)=…=f3n(

1

3n

)，
∴f3n(

1

3n

)=2，
故f（

1

3n

）=2

1

3n

，
故答案為：2

1

3n

．

點評：本題考查了函數的代入應用，同時考查了迭代法的應用，屬于中檔題．