Question

如圖，P是四邊形ABCD所在平面外一點，O是AC與BD的交點，且PO⊥平面ABCD．當四邊形ABCD滿足下列條件

①②③

時，點P到四邊形四條邊的距離相等．
①正方形；②圓的外切四邊形；③菱形；④矩形．

Answer 1

分析：連接PA、PB、PC、PD，若要使P到四邊形四條邊的距離相等，則P在底面的射影O到四邊形各邊的距離也相等．過O點作出到邊的垂線段，可以利用線面垂直的性質證明相應的直角三角形全等，從而得到三角形的斜邊對應相等，用此性質不難判斷出符合條件的選項為①②③

解答：解：連接PA、PB、PC、PD，作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，連接PE、PF
∵PO⊥平面ABCD
∴△POE、△POF均為直角三角形
若OE=OF，則根據邊角邊公理，可得△POE≌△POF
則有PE=PF
又∵AB⊥OE，AB⊥PO，OE∩PO=O
∴AB⊥平面POE，可得PE是P到AB的距離
同理可得PF是P到BC的距離．
因此可得：OE=OF可答出推出P到AB的距離等于P到BC的距離．
同理可以得到P到其它邊的距離也是相等的，反過來也成立．
故“O到邊的距離相等”等價于“P到邊的距離相等”
因為正方形、菱形和圓外切四邊形都是有內切圓的四邊形，
內切圓的圓心到四條邊的距離相等
所以滿足條件的應該是正方形、菱形和圓外切四邊形
故答案為：①②③

點評：本題著重考查了直線和平面的性質的應用，屬于中檔題．對于棱錐而言，若頂點到底面各邊距離相等，則頂點在底面的射影到各邊的距離相等，這是棱錐的一個常見的性質．