Question

已知方程x²+

x

tanθ

-

1

sinθ

=0有兩個不等實根a和b，那么過點A（a，a²）、B（b，b²）的直線與圓x²+y²=1的位置關系是（　　）

• A、相交
• B、相切
• C、相離
• D、隨θ值的變化而變化

Answer 1

分析：由a與b為一元二次方程的兩個不等的實根，利用韋達定理表示出a+b和ab，然后根據點A和B的坐標求出直線AB的斜率，利用中點坐標公式求出線段AB的中點坐標，根據中點坐標和求出的斜率寫出直線AB的方程，根據圓的方程找出圓心坐標和半徑，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線AB的距離d，化簡后把表示出的a+b和ab代入即可求出值為1，與圓的半徑相等，進而得到直線AB與圓的位置關系是相切．

解答：解：由a和b為方程x²+

x

tanθ

-

1

sinθ

=0的兩個不等的實根，
得到a+b=-

1

tanθ

，ab=-

1

sinθ

，
又A（a，a²）、B（b，b²），
得到直線AB的斜率k=

a2-b2

a-b

=a+b，線段AB的中點坐標為（

a+b

2

，

a2+b2

2

）
所以直線l_AB：y=（b+a）（x-

a+b

2

）+

a2+b2

2

．
由圓x²+y²=1，得到圓心坐標為（0，0），半徑r=1，
則圓心到直線AB的距離d=

| a2+b2 2 - (a+b)2 2 |

12+(a+b)2

=

| (a+b)2-2ab 2 - (a+b)2 2 |

12+(a+b)2

=

|ab|

12+(a+b)2

=

| 1 sinθ |

1+ 1 tan2θ

=1=r．
所以直線AB與圓的位置關系是相切．
故選B

點評：此題考查學生靈活運用韋達定理及中點坐標公式化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，掌握直線與圓位置關系的判斷方法，是一道中檔題．