Question

已知過點A（1，0）的動直線依次交拋物線x²=2y、直線y=x于點B、C、D，求證：

AB

AD

=

CB

CD

．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：分別過B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為B₁（x₁，0），C₁（x₂，0），D₁（x₃，0），則

AB

AD

=

CB

CD

等價于

1-x1

1-x3

=

x1-x2

x2-x3

，設過點A的動直線方程為y=k（x-1），聯立拋物線方程及y=x，可用k表示交點的橫坐標x₁，x₂，x₃，化簡即可得證．

解答： 證明：分別過B，C，D作x軸的垂線，垂足分別為B₁（x₁，0），C₁（x₂，0），D₁（x₃，0），
如右圖所示．
依題意，設過點A的動直線方程為y=k（x-1），顯然k≠0，
由

x2=2y y=k(x-1)

，消去y，得x²-2kx+2k=0，
解得x₁=k+

k2-2k

，x3=k-

k2-2k

．
由于直線y=k（x-1）與直線y=x相交，故k≠1，聯立此兩方程得x2=

k

1-k

．
易知BB₁∥CC₁∥DD₁，所以

AB

AD

=

1-k- k2-2k

1-k+ k2-2k

，

CB

CD

=

k+ k2-2k - k k-1

k k-1 -(k- k2-2k )

=

k2-2k+(k-1) k2-2k

(k-1) k2-2k -(k2-2k)

=

k2-2k ( k2-2k +k-1)

k2-2k (k-1- k2-2k )

=

1-k- k2-2k

1-k+ k2-2k

．
故

AB

AD

=

CB

CD

，得證．

點評：本題考查了直線與拋物線的交點問題及比例的性質，關鍵是將線段之比轉化為交點橫坐標的差之比．