Question

已知函數f（x）=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ（n∈N^*），且y=f（x）的圖象經過點（1，n²），n=1，2，…，數列{a_n}為等差數列．
（I）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當n為奇數時，設g(x)=

1

2

[f(x)-f(-x)]，是否存在自然數m和M，使得不等式m＜g(

1

2

)＜M恒成立？若存在，求出M-m的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據條件中所給的函數式，給變量賦值得到數列前n項和與n之間的關系，給n賦值，得到含有數列前3的方程組，解方程組得到數列的前幾項，得到首項和公差，寫出通項．
（2）給函數式賦值，得到要用的函數值，而函數值是通過數列的和表示的，用到錯位相減法來求數列的和，根據函數的單調性得到函數的值域，寫出變量的取值，得到結果．

解答：解：（I）由題意得f（1）=n²，即a₁+a₂+a₃+…+a_n=n²
令n=1，則a₀+a₁=1，
令n=2則a₀+a₁+a₂=2²，
a₂=4-（a₀+a₁）=3
令n=3則a₀+a₁+a₂+a₃=3²
a₃=9-（a₀+a₁+a₂）=5
設等差數列{a_n}的公差為d，則d=a₃-a₂=2，a₁=1
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1
（II）由（I）知：f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a_nxⁿ
n為奇數時，f（-x）=-a₁x+a₂x²-a₃x³+…-a_nxⁿ
∴g（x）=

1

2

[f（x）-f（-x）=a₁x+a₃x³+a₅x⁵…+a_nxⁿ
g（

1

2

）=1×

1

2

+5×(

1

2

)3+9×(

1

2

)5+…+(2n-1)×(

1

2

)n①

1

4

g(

1

2

)=1× (

1

2

)3 +5×(

1

2

)5+…+(2n-1)×(

1

2

)n+2②
由①-②得：

3

4

×g(

1

2

)=4

1 2 (1- 1 2n+1 )

1- 1 4

-（2n-1）×(

1

2

)n+2-

3

2

∴g（

1

2

）=

14

9

-

13

9

× (

1

2

)n-

2n

3

(

1

2

)n＜

14

9

設cn=

2n

3

(

1

2

)n
∵cn+1-cn=

1

3

(1-n)×(

1

2

)n≤0
∴c_n隨n的增大而減小，又

13

9

×(

1

2

)n隨n的增大而減小
∴g（

1

2

）為n的增函數，
當n=1時，g（

1

2

）=

1

2

而g（

1

2

）＜

14

9

∴

1

2

≤g(

1

2

)＜

14

9

易知：使m＜g(

1

2

)＜M恒成立的m的最大值為0，M的最小值為2，
∴M-m的最小值為2．

點評：數列中數的有序性是數列定義的靈魂，要注意辨析數列中的項與數集中元素的異同，因此在研究數列問題時既要注意函數方法的普遍性，又要注意數列方法的特殊性．