Question

已知函數f(x)=

4x

x2+a

．請完成以下任務：
（Ⅰ）探究a=1時，函數f（x）在區間[0，+∞）上的最大值．為此，我們列表如下

x	0	0.1	0.2	0.5	0.8	1	1.2	1.5	1.8	2	4	6	…
y	0	0.396	0.769	1.6	1.951	2	1.967	1.846	1.698	1.6	0.941	0.649	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，解答以下兩個問題．
（1）寫出函數f（x），在[0，+∞）上的單調區間；指出在各個區間上的單調性，并對其中一個區間的單調性用定義加以證明．
（2）請回答：當x取何值時f（x）取得最大值，f（x）的最大值是多少？
（Ⅱ）按以下兩個步驟研究a=1時，函數f(x)=

4x

x2+a

，(x∈R)的值域．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）結合已知和以上研究，畫出函數f（x）的大致圖象，指出函數的值域．
（Ⅲ）己知a=-1，f（x）的定義域為（-1，1），解不等式f(4-3x)+f(x-

3

2

)＞0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（1）利用圖中表格的數據進行判斷，然后利用定義法進行證明；
（2）把a=1代入f（x），然后對其進行求導，求出其單調區間，根據圖象求出其最值；
（Ⅱ）（1）已知函數f(x)=

4x

x2+a

，(x∈R)，f（-x）=-f（x），從而證明；
（2）根據奇函數的性質，畫出草圖，然后求出其值域．
（Ⅲ）把a=-1，代入f（x），對其求導研究函數的單調性，利用f（x）的奇函數，對其進行求解；

解答：解：（Ⅰ）（1）從圖中數據可以看出：當0＜x＜1時，y隨x的增大而增大，當x≥1時，y隨x的增大而減小，
∴函數f（x），在[0，+∞）上的單調增區間為[0，1]，單調減區間為[1，+∞），
現在對（1，+∞）上為減函數進行證明；1＜x₁＜x₂，
∴f（x）在[0，1]上為增函數，在[1，+∞]上為減函數
現在對（1，+∞）上為減函數進行證明；1＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=

4x1

x 2 1 +1

-

4x2

x 2 2 +1

=

4[(x2-x1)(x1x2-1)]

(  x 2 1 +1)( x 2 2 +1)

，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數，即證；
（2）∵a=1，∴f（x）=

4x

x2+1

，∴f′（x）=

4-4x2

(x2+1)2

，
∴當-1＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
當x＞1或x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
由上可知，f（x）在x=1點取極大值，∵x＜0，∴f（x）＜0，
∴f（x）在x=1處取最大值，f_max（x）=f（1）=2；
（Ⅱ）（1）∵a=1，∴f（x）=

4x

x2+1

，
f（-x）=

-4x

(-x)2+1

=-f（x），f（x）為奇函數；
（2）∵當-1＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）為增函數；
當x＞1或x＜-1時，f′（x）＜0，f（x）為減函數；
∵x＜0，∴f（x）＜0，畫出f（x）的草圖：

可得f（x）≤2，f（x）值域為：[-2，2]
（Ⅲ）∵a=-1，f（x）的定義域為（-1，1），
∴f（x）=

4x

x2-1

，f′（x）=--

x2+1

(x2-1)2

＜0，f（x）為減函數，
∴f（-x）=-f（x），f（x）為奇函數，
∴f(4-3x)+f(x-

3

2

)＞0，
f（4-3x）＞-f（x-

3

2

），
∴f（4-3x）＞f（

3

2

-x），∵f（x）為減函數，
∴-1＜4-3x＜

3

2

-x＜1，
∴

5

3

＞x＞

5

4

∴不等式解集為：（

5

4

，

5

3

）

點評：此題主要考查函數的奇偶性和單調性，利用導數求函數的單調性，利用函數的圖象求函數的值域，此題是一道綜合題，考查的知識點比較多．