Question

某商場搞促銷，當顧客購買商品的金額達到一定數量之后可以抽獎，根據顧客購買商品的金額，從箱中（裝有4只紅球，3只白球，且除顏色外，球的外部特征完全相同）每抽到一只紅球獎勵20元的商品，每抽到一只白球獎勵10元的商品（當顧客通過抽獎的方法確定了獲獎商品后，即將小球全部放回箱中）．
（1）當顧客購買金額超過500元而少于1000元（含1000元）時，可從箱中一次隨機抽取3個小球，求其中至少有一個紅球的概率；
（2）當顧客購買金額超過1000元時，可一次隨機抽取4個小球，設他所獲獎商品的金額為ξ元，求ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）基本事件總數n=C₇³=35，設事件A={任取3球，至少有一個紅球}，則事件

.

A

={任取3球，全是白球}．故P（

.

A

）=

1

35

，由A與

.

A

為對立事件，能求出該顧客任取3球，至少有一個紅球的概率．
（2）依題意，ξ的可能取值為50，60，70，80，分別求出P（ξ=50），P（ξ=60，P（ξ=70）和P（ξ=80）的值，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答：解：（1）基本事件總數n=C₇³=35，設事件A={任取3球，至少有一個紅球}，則事件

.

A

={任取3球，全是白球}．
∴P（

.

A

）=

1

35

，∵A與

.

A

為對立事件，于是
P（A）=1-P（

.

A

）=

34

35

．
即該顧客任取3球，至少有一個紅球的概率為

34

35

．
（2）依題意，ξ的可能取值為50，60，70，80，
ξ=50表示所取4球為3白1紅（3×10+1×20=50），
∴P（ξ=50）=

C 3 3 • C 1 4

C 4 7

=

4

35

，
ξ=60表示所取4球為2白2紅（2×10+2×20=60），
∴P（ξ=60）=

C 2 3 • C 2 4

C 4 7

=

18

35

，
ξ=70表示所取4球為3紅1白（3×20+1×10=70），
∴P（ξ=70）=

C43•C31

C74

=

12

35

，
ξ=80表示所取4球全為紅球（4×20=80），
∴P（ξ=80）=

C44

C74

=

1

35

．
于是ξ的分布列為：

ξ	50	60	70	80
P	4 35	18 35	12 35	1 35

∴Eξ=50×

4

35

+60×

18

35

+70×

12

35

+80×

1

35

=

440

7

（元）．
即該顧客獲獎的期望是

440

7

≈63（元）．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望，是中檔題，歷年高考中都是必考題型．解題時要認真審題，仔細解答，注意概率知識的靈活運用．