如圖已知拋物線
的焦點坐標為
，過
的直線交拋物線
于
兩點，直線
分別與直線
：
相交于
兩點．
(1)求拋物線的方程；
(2)證明△ABO與△MNO的面積之比為定值．
（1）
；（2）證明過程詳見解析.
解析試題分析：本題主要考查拋物線、直線的方程，以及直線與拋物線的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、坐標化方法等.第一問，利用拋物線的標準方程，利用焦點坐標求出
，代入即可；第二問，討論直線
垂直和不垂直
軸2種情況，當直線垂直于軸時，2個三角形相似，面積比為定值，當直線不垂直于軸時，設出直線的方程，設出
四個點坐標，利用直線與拋物線相交列出方程組，消參得到方程，利用兩根之積得
為定值，而面積比值與
有關，所以也為定值.
試題解析：（1）由焦點坐標為
可知
所以
,所以拋物線的方程為 5分
（2）當直線垂直于軸時，
與
相似，
所以
, 7分
當直線與軸不垂直時，設直線AB方程為
,
設
，
，
，
，
解
整理得
， 9分
所以, 10分
,
綜上
12分
考點：1.拋物線的標準方程；2.直線方程；3.根與系數關系；4.三角形面積公式.
全優點練單元計劃系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓的中心在原點，焦點在
軸上，離心率為
，長軸長為
，直線
交橢圓于不同的兩點
．
（1）求橢圓的方程；
（2）求
的取值范圍；
（3）若直線
不經過橢圓上的點
，求證：直線
的斜率互為相反數．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
（
）的右焦點
，右頂點
,右準線
且
．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）動直線
：
與橢圓有且只有一個交點
，且與右準線相交于點
，試探究在平面直角坐標系內是否存在點
，使得以
為直徑的圓恒過定點？若存在，求出點
坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在
軸上，且過點
.
（Ⅰ）求拋物線的標準方程；
（Ⅱ）與圓
相切的直線
交拋物線于不同的兩點
若拋物線上一點
滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖已知橢圓的中點在原點，焦點在x軸上，長軸是短軸的2倍且過點
，平行于
的直線
在y軸的截距為
，且交橢圓與
兩點，
（1）求橢圓的方程；（2）求
的取值范圍；（3）求證：直線
、
與x軸圍成一個等腰三角形，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
與雙曲線
有公共焦點
，點
是曲線
在第一象限的交點，且
．
(Ⅰ)求雙曲線
的方程；
(Ⅱ)以雙曲線的另一焦點
為圓心的圓
與直線
相切，圓
：
．過點
作互相垂直且分別與圓、圓相交的直線
和
，設被圓截得的弦長為
，被圓截得的弦長為
，問：
是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F1，F2，且｜F1F2｜＝2，點P（1，
）在橢圓C上.
（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線
：
與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且
，
，四邊形
面積S的求最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系
中，動點
到兩點
，
的距離之和等于4，設點的軌跡為曲線C，直線過點
且與曲線C交于A，B兩點．
（Ⅰ）求曲線C的軌跡方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB面積的最大值，若存在，求出△AOB的面積；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系
中，
、
分別是橢圓
的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于
、
兩點，其中在第一象限．過作
軸的垂線，垂足為
．連接
，并延長交橢圓于點
．設直線
的斜率為
．
（Ⅰ）當直線平分線段
時，求的值；
（Ⅱ）當
時，求點到直線
的距離；
（Ⅲ）對任意
，求證：
．
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