Question

（2013•廣州一模）已知函數f(x)=Asin(ωx+

π

4

)（其中x∈R，A＞0，ω＞0）的最大值為2，最小正周期為8．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若函數f（x）圖象上的兩點P，Q的橫坐標依次為2，4，O為坐標原點，求△POQ的面積．

Answer 1

分析：（1）由函數的最大值求出A，由周期求得ω，從而求得函數的解析式．
（2）解法1：先求出P、Q兩點的坐標，利用兩個向量的夾角公式求得cos∠POQ，可得sin∠POQ的值，根據△POQ的面積為S=

1

2

|OP||OQ|sin∠POQ，運算求得結果．
解法2：先求出P、Q兩點的坐標，利用點到直線的距離公式求得點Q到直線OP的距離d以及OP的長度，再根據△POQ的面積為 S=

1

2

|OP|•d運算求得結果．

解答：（1）解：∵f（x）的最大值為2，且A＞0，∴A=2．…（1分）
∵f（x）的最小正周期為8，∴T=

2π

ω

=8，得ω=

π

4

．…（2分）
∴f（x）=2sin（

π

4

x+

π

4

）．…（3分）
（2）解法1：∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，…（4分）
∴f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，…（5分）
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)．
∴|OP|=

6

，|PQ|=2

3

，|OQ|=3

2

．…（8分）
∴cos∠POQ=

|OP|2+|OQ|2-|PQ|2

2|OP||OQ|

=

( 6 )2+(3 2 )2-(2 3 )2

2 6 ×3 2

=

3

3

．…（10分）
∴sin∠POQ=

1-cos2∠POQ

=

6

3

．…（11分）
∴△POQ的面積為S=

1

2

|OP||OQ|sin∠POQ=

1

2

×

6

×3

2

×

6

3

=3

2

．…（12分）
解法2：∵f(2)=2sin(

π

2

+

π

4

)=2cos

π

4

=

2

，…（4分）
∴f(4)=2sin(π+

π

4

)=-2sin

π

4

=-

2

，…（5分）
∴P(2，

2

)，Q(4，-

2

)．
∴直線OP的方程為y=

2

2

x，即x-

2

y=0．…（7分）
∴點Q到直線OP的距離為d=

|4+2|

3

=2

3

．…（9分）
∵|OP|=

6

，…（11分）
∴△POQ的面積為S=

1

2

|OP|•d=

1

2

×

6

×2

3

=3

2

．…（12分）

點評：本小題主要考查三角函數的圖象與性質、誘導公式、余弦定理、正弦定理、兩點間距離公式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力，屬于中檔題．