Question

如圖，在直角坐標系xOy中，角α的頂點是原點，始邊與x軸正半軸重合，終邊交單位圓于點A，且α∈(

π

3

，

π

2

)．將角α的終邊按逆時針方向旋轉

π

6

，交單位圓于點B．記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
（Ⅰ）若x₁=

1

4

，求x₂； 
（Ⅱ）分別過A，B作x軸的垂線，垂足依次為C，D．記△AOC的面積為S₁，△BOD的面積為S₂．若S₁=S₂，求角α的值．

Answer 1

分析：（I）根據三角函數定義求得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

6

)，再利用x₁=

1

4

，求得cosα，sinα，然后利用x₂=cos（α+

π

6

）=

3

2

cosα-

1

2

sinα求x₂；
（II）根據圖形用α的三角函數表示S₁、S₂，利用S₁=S₂求得tan2α，分析2α的范圍求得2α，從而求得α．

解答：解：（I）由三角函數定義，得 x₁=cosα，x2=cos(α+

π

6

)，
∵α∈（

π

3

，

π

2

），cosα=

1

4

，
∴sinα=

1-( 1 4 )2

=

15

4

，
∴x₂=cos（α+

π

6

）=

3

2

cosα-

1

2

sinα=

3 - 15

8

．
（Ⅱ）解：依題意得 y₁=sinα，y₂=sin（α+

π

6

）．
∴S₁=

1

2

x₁y₁=

1

4

sin2α，
S₂=

1

2

|x₂|y₂=

1

2

sin（α+

π

6

）|cos（α+

π

6

）|=-

1

4

sin（2α+

π

3

），
∵S₁=S₂
∴sin2α=-sin（2α+

π

3

）=-

1

2

sin2α-

3

2

cos2α，
整理得tan2α=-

3

3

，
∵

π

3

＜α＜

π

2

，
∴

2π

3

＜2α＜π，
∴2α=

5π

6

，即α=

5π

12

．

點評：本題主要考查三角函數的定義及三角函數恒等變形，考查了學生運用三角函數的知識解決問題的能力．