Question

（本小題滿分14分）
如圖，在三棱柱中，側面底面ABC，，，且為AC中點。
（I）                   證明：平面ABC；
（II）                 求直線與平面所成角的正弦值；
（III）               在上是否存在一點E，使得平面，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置。

Answer 1

（Ⅰ）見解析（Ⅱ），（Ⅲ）E為的中點

（Ⅰ）證明：因為，且O為AC的中點，

所以.                                                                                   ………………1分
又由題意可知，平面平面，交線為，且平面，
所以平面.                                                                      ………………4分
（Ⅱ）如圖，以O為原點，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
由題意可知，又
所以得:
則有：                                     ………………6分
設平面的一個法向量為，則有
，令，得
所以.                                          ………………7分
.                                     ………………9分
因為直線與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以.                                                                                            ………………10分
（Ⅲ）設                                            ………………11分
即，得
所以得         ………………12分
令平面，得 ，                                        ………………13分
即得
即存在這樣的點E，E為的中點.                           ………………14分