Question

【題目】

如圖，四邊形ABCD為正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=PD．

（I）證明：PQ⊥平面DCQ；

（II）求棱錐Q-ABCD的體積與棱錐P-DCQ的體積的比值．

Answer 1

【答案】解析：（I）見解析；（2）1.

【解析】

試題(1)要證直線與平面垂直，只須證明直線與平面內的兩條相交直線垂直即可，注意到QA⊥平面ABCD，所以有平面PDAQ⊥平面ABCD，且交線為AD，又因為四邊形ABCD為正方形，由面面垂直的性質可得DC⊥平面PDAQ，從而有PQ⊥DC，又因為PD∥QA，且QA＝AB＝PD ，所以四邊形PDAQ為直角梯形，利用勾股定理的逆定理可證PQ⊥QD；從而可證 PQ⊥平面DCQ；(2)設AB＝a，則由(1)及已知條件可用含a的式子表示出棱錐Q－ABCD的體積和棱錐P－DCQ的體積從而就可求出其比值．

試題解析：(1)證明：由條件知PDAQ為直角梯形．

因為QA⊥平面ABCD，所以平面PDAQ⊥平面ABCD，交線為AD.

又四邊形ABCD為正方形，DC⊥AD，

所以DC⊥平面PDAQ.可得PQ⊥DC.

在直角梯形PDAQ中可得DQ＝PQ＝PD，

則PQ⊥QD.所以PQ⊥平面DCQ.

(2)設AB＝a.由題設知AQ為棱錐QABCD的高，所以棱錐Q－ABCD的體積V1＝a3.

由(1)知PQ為棱錐P－DCQ的高，而PQ＝a，△DCQ的面積為a2，

所以棱錐P－DCQ的體積V2＝a3.

故棱錐Q－ABCD的體積與棱錐P－DCQ的體積的比值為1.