Question

已知函數f（x）=

1

3

x³-ax²+（a²-1）x+b（a，b∈R）．
（Ⅰ）若x=1為f（x）的極值點，求a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為x+y-3=0，求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）當a≠0時，若f（x）在區間（-1，1）上不單調，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對函數f（x）求導f′（x），根據x=1為f（x）的極值點，得到f′（1）=0，解這個方程即可求得a的值；
（Ⅱ）根據切點在切線上，求得f（1），且切點在y=f（x）的圖象上，代入求得關于a，b的一個方程，根據導數的幾何意義知f′（1）=-1，解方程組即可求得a，b的值，求函數f（x）在區間（-2，4）上的極值，再與f（-2），f（4）比較大小，可求f（x）在區間[-2，4]上的最大值；
（Ⅲ）由f（x）在區間（-1，1）上不單調，得函數f′（x）在（-1，1）上存在零點，討論求得a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f′（x）=x²-2ax+（a²-1）
∵x=1為f（x）的極值點，
∴f′（1）=0，即a²-2a=0，
∴a=0或2；

（II）∵（1，f（1））是切點，
∴1+f（1）-3=0∴f（1）=2
即a²-a+b-

8

3

=0
∵切線方程x+y-3=0的斜率為-1，
∴f'（1）=-1，即a²-2a+1=0，
∴a=1，b=

8

3

∵f（x）=

1

3

x3-x2+

8

3

∴f'（x）=x²-2x，可知x=0和x=2是y=f（x）的兩個極值點．
∵f（0）=

8

3

，f(2)=

4

3

，f（-2）=-4，f（4）=8
∴y=f（x）在區間[-2，4]上的最大值為8．   
                  
（Ⅲ）因為函數f（x）在區間（-1，1）不單調，所以函數f′（x）在（-1，1）上存在零點．
而f'（x）=0的兩根為a-1，a+1，相距2，
∴在區間（-1，1）上不可能有2個零點．
所以f′（-1）f′（1）＜0
即：a²（a+2）（a-2）＜0
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，+2）．

點評：考查利用導數研究函數的極值和閉區間上的最值，以及導數的幾何意義和利用導數研究函數的單調性，